GEB读书笔记之五——大萌神与哥德尔第二不完备性定理

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阿宅们,好好读书啊!

如果你有看过凉宫春日系列的话,应该还记得在《凉宫春日的烦闷》里的 "竹叶狂想曲一章"(话说提到这个我每次的第一反应就是某人在某年七夕很淡定的去校北门拔了一个竹子然后大摇大摆的放回宿舍做许愿竹的事),阿虚受1096的委托和她一起回到了过去,又在老1096的色诱下帮春日在校园里画了一操场的火星文,可惜画完后小1096才发现时光机器不见了以至于回不去了,最后他俩只能去大萌神的家里同床共枕到3年后了(3年间就睡了一次觉,一次睡了3年...不对,可恶啊,阿虚你怎么不去死一万遍啊!)。回来之后的阿虚对时空跳跃的过程感到莫名其妙,就在他在SOS团活动室里胡思乱想这次时空跳跃似乎哪里有问题的时候,大萌神说到:

     相容的系统无法证明自己的无矛盾性

这其实就是哥德尔第二部完备性定理的一种表述,萌神用这句话成功的让阿虚闭了嘴,不过阿虚也不像是真懂了的样子,更像是反正无法理解那就干脆不要理解了的样子。其实这也不能怪阿虚学艺不精,毕竟这玩意也的确不好理解,书上对于证明也是一带而过,只是说和第一不完备性定理思路差不多,并不难证明(好吧,看见“不难证明”这四个字你懂了么?)。我当年上数理逻辑课的时候老师在花了2次课6个课时的时间证明了哥德尔第一不完备性定理后也说由于第二不完备性定理的证明过于复杂所以略去了证明只讲了结论。所以这个定理的证明在这里也只能微讲一下思路了。

哥德尔的证明是在系统的内部构造一个“此系统一致”的句子,之后证明了如果这个句子是系统中的定理,那么同时“此系统不一致”也会是这个系统的定理。然而一旦这两个句子都是系统中的定理,则显然的,系统不相容。这也说明了,除非系统不相容,否则我们没法证明系统是一致的,但是......不一致的系统证明了又有毛用啊,因为在不一致的系统中所有能在系统内表示的句子都是真的,这对我们没有任何用处。就如同虽然你能包含所有的真理,但是也包含了所有的假理,这种东西除了一小撮别有用心的人喜欢拿来骗广大的人民群众外正常人是不会对这种东西感兴趣的。

第二不完备性定理在某些方面看上去有些令人不安,特别是如果你认为一切东西都需要证明才能保证正确性的话。由于哥德尔第二不完备性定理的存在,一个系统的正确性证明只能依赖于另外一个系统,因为自己没办法证明自己。但是这就如同一个一环套一环的锁链,当然可以一步一步的证明下去,不过当证明到这条锁链的一个顶端时我们该如何呢?它的正确性该如何证明?如果不能,我们之前证明的那些又能够算得上可靠么?所以,数学是可靠的么?更进一步,也有人相信这个锁链的最后一环应该是人的理智,所以说,人的理智是可靠的么?

这些论调听上去有些恐怖,毕竟数学无处不在,现代科学又建立在人的理智之上,如果这两样东西都不可信的话那还真的是2012了。不过我倒是觉得大可不必,最好的论据就是我们现在活的很好,几千年都过来了,总体而言没有出什么BUG。数学不可信?我不这么觉的,没有数学怕是我们连可信不可信这个概念都没有,还讨论个屁啊。理智不可信?那我倒想问问不信理智了你信什么?动物的本能?那我们怕是现在还和黑猩猩没有什么区别。所以说真的无法证明?大丈夫萌大奶!几千年的经验告诉我们这些东西还是可以相信的,而且至今为止也没有什么东西看上去比数学更可信,所以大可不必担心啦~你觉得呢?

那么下一篇文章,虽然还有不少东西,但是看上去都已经偏向哲学的范畴了,所以合起来讲吧,颇有些玄妙的东西我也不懂啦......