技术宅结城浩写了几本Java，C，Perl的书后估计是觉得程序猿的钱不好赚，于是打起了宅们的主意，一本数学少女就这么红起来了。第一次听说这本书还是大一，听介绍还挺有趣的，可惜当时没有中文版，真正看到还是几年后的事了。前些日子听说这书居然还出系列了，并且还漫画化了，我该说11区已经没有救了么。看了漫画第一话的内容，居然是经典的泥孩子问题，上次说到的模态逻辑和可能世界理论正巧能够用的上，那么既然上次只是很简单的说了一下大概，这次借这个机会我就再多说两句好了。

泥孩子问题是这样的：

想象一下有n个孩子在一起玩，他们的母亲告诉他们如果他们弄脏了自己，后果会很严重。所以，理所应当的，这些孩子不愿意自己变脏，但是却非常乐意别人变脏（这腹黑的……）。现在，我们假设在这n个孩子中有k个在玩的时候弄脏了他们自己的额头，每个人都能看到其他人的的额头但是不能看到他们自己的额头。所以，没人会坦白他看到了什么。当然为了不至于回家后面对不知道是什么的“很严重的后果”，他们一起来到了父亲那里。这个父亲显然也不是省油的灯，他并没有直接告诉这些小孩他们头上有没有泥巴，只是说了“你们之间至少有一个人头顶有泥巴”。之后这个父亲就一遍又一遍的问“你们知道自己头上有泥巴么？” 我们假设所有小孩都足够聪明，诚实，并且他们总是同时回答，那么将会发生什么？

我们先假设只有3个孩子，那么如果我们用一个三元组(q_1, q_2, q_3)来表示这三个孩子的状态，以0或1分别表示某人头上没有或有泥巴，则我们知道所有的可能世界有8种：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）。如果我们把“0个孩子头上有泥巴”，“1个孩子头上有泥巴”，“2个孩子头上有泥巴”，“3个孩子头上有泥巴” 分成4组的话，我们可以画出下面的这副图M_0：

其中每个点代表一个可能世界，这个可能世界的状态则被标注在旁边，那么边是按照什么规矩连接起来的呢？从数值上讲，是连接有且仅有一位与起始点不同的点，所以（1，0，0）可以连接（1，0，1），（1，1，0），（0，0，0）而不能连接（0，1，1）因为他们有3位不同而不是一位。从含义上来讲，由于某个点代表着一个可能世界，则和它连接的点就是这个可能世界的所有可能世界，但是这里稍微有点复杂，因为这些可能世界是从不同人眼里出发得到的可能世界。回到具体的含义上来，（1，0，0）代表了孩子A头上有泥巴而孩子B，C上没有，那么这个世界中，由孩子A看来，他知道B和C头上没有泥巴，但是不知道自己头上有没有泥巴，所以A的所有可能世界是（1，0，0）和（0，0，0）。同理，B的所有可能世界则是（1，0，0）和（1，1，0），C的就是（1，0，0）和（1，0，1）。

那么为了明确区分到底是谁眼里的可能世界，我们在每条边上对此做出标示，则这个图就可以变为M_1：

所以在他们的父亲说任何话之前，所有可能世界和他们的关系就如上如图所示。但是，当父亲说：“你们之间至少有一个人头上有泥巴”的时候这些可能世界就发生了变化，（0，0，0）变成不可能的了，所以就成了这样，图M_2：

此时，如果只有一个孩子头上有泥巴，那么头上有泥巴的那个孩子则必然知道自己头上有泥巴，而另外两个孩子则仍没有足够的信息来确定是否自己头上有泥巴。为什么呢？我们假设此时的世界是（0，0，1）那么以这个世界为基准，对于A而言虽然他不知道自己所在的世界，但是通过观察其他的两个孩子，他可以知道自己必定在（0，0，1）和（1，0，1）这两个世界其中之一，但是这两个世界里A头上有没有泥巴是不一样的，所以A无法判定自己头上有没有泥巴，B同理。唯独C在这里除了（0，0，1）外不存在其余的可能世界，所以对于C而言，他可以确定自己头上一定有泥巴。到这里，我们可以说，如果孩子们可以判断在所有可能世界里，自己头上有没有泥巴这件事情况都是一样时，他就可以确定自己头上有没有泥巴了。

那么数学上我们如何表示？在这里我们最终要推出的是A，B，C知道自己头上有（或没有）泥巴，于是如果我们用p表示自己头上有泥巴，q表示自己头上没泥巴，那么p，q就是我们常说的命题（一个能区分真假的语句），K_A，K_B，K_C分别表示A，B，C知道，我们把它们叫做模态算子。则K_A p的含义就是A知道自己头上有泥巴，如果我们再加入\lnot来代表否定，那么K_A \lnot K_B p就表示A知道B不知道自己头上有泥巴。当然这么下去也可以造出像标题一样绕口的句子，不过把人绕晕乎是没有任何好处的，就在此打住。所以上面提到的（0，0，1）世界的情况，我们就可以写为：

• $$(M_2, (0, 0, 1))\models \lnot K_A p$$
• $$(M_2, (0, 0, 1))\models \lnot K_B p$$
• $$(M_2, (0, 0, 1))\models K_C p$$

这些式子的含义是，在图M_2所示的情况下，当世界为（0，0，1）时，A，B，C三者的知识情况，言下之意就是当世界为（0，0，1）时，A，B一定不知道自己头上有没有泥巴，而C一定知道自己头上有泥巴。

回到最初的问题，如果世界不是（0，0，1）而是（1，0，1）呢？(M_2, (1, 0, 1))又能得到什么？此时我们可以看到，无论是A，B，还是C，在（1，0，1）这个世界下，对于他们自己的总有另一个可能世界，在那个可能世界中自己头上有没有泥巴是不一样的，所以要是这样，他们都不会知道到底自己头上有没有泥巴，于是三人都会回答：不知道。这时情况又起了变化，当所有人回答不知道时，这就意味着必定存在着两个或两个以上的人，他们头上有泥巴，于是这个世界又变成了M_3:

此时，除了对于B而言还存在两个可能世界以外，A，C均只有一个可能世界，所以在图M_3的情况下我们有：

• $$(M_3, (1, 0, 1))\models K_A p$$
• $$(M_3, (1, 0, 1))\models \lnot K_B p$$
• $$(M_3, (1, 0, 1))\models K_C p$$

那么，当世界是（1，1，0）时也可以“同理可得”，就不用多说了吧。如果你对这些感兴趣，可以另外参考MIT出版的Reasoning About Knowledge，上面说的很详细，当然数学上也要严谨的多。

TNND，回头看这文的时候突然反应过来，这泥马的拿手摸一下不就知道有没有泥巴了，还弄得这么麻烦，搞数学的还真是没事干啊。