Youtube上面有一个很有趣的玩弄数字的频道Numberphile，最近它们发布了一个视频来解释一个很古旧的谜题的解法。这个谜题的规则很简单，问题看上去也很简单，可是当你去尝试解决的时候却会发现这货其实并没有那么简单，最有趣的是，这个最后看上去好像很复杂的问题其实只需要会四则运算就能解决，听上去是不是很好玩呢？如果你的英文还行，访问Youtube也没有障碍的话，现在就可以点击上面的链接去一探究竟。当然如果你懒，也可以听我在这里说，毕竟这就是这篇文章的目的。

首先你有一个国际象棋棋盘，这个想必大家都已经熟悉了：

其次你有一堆圆形的像围棋一样的棋子，就不要吐槽为什么要在国际象棋棋盘上下围棋了，思路不广哪来的谜题呢。

至于规则也很简单：

首先我们在某一格里有一个棋子

然后我们在它的上面和右边各放一个棋子，最后把原来的棋子拿掉。游戏前进的方向就是绿色箭头指向的方向。

当然了，如果某个棋子的上面或右边已经有一个棋子了，那么我们就必须先将占位的棋子移走才能移动那个棋子。

好了，规则就是这么简单，问题也不复杂，我们现在有这么一个“监狱”，就是下图被圈起来的部分：

监狱里关着3个棋子，那么请问，使用上面的规则，我能让这个监狱里没有棋子吗？你可以现在就拿张纸画一画，然后再往下看。

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如果你已经试过了，可能就会发现，这个棋盘不够用，那么我们就换个大点的，让这个棋盘向上向右都是无限延伸的，再来试一试。

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好了，试到现在你的纸应该已经花到没法看的地步了，不过很遗憾，那个监狱里似乎还有人在里面。到现在大部分人应该都觉得，这个看上去很弱智的问题，是做不到的，那么下一步就变成了，如何证明这事是不可能的呢？证明做不到是个很麻烦的问题，在大部分情况下几乎是不可能的，Quora上面有这么一个讨论串 How is it possible to disprove the existence of anything with certainty? 说的就是这个问题。不过还好我们这里只是一个纯粹的数学问题，想要证明这是不可能的仍旧是可能的，并且很简单，当然，简单的前提是你知道怎么做_(:з」∠)_

证明的思路是，我们需要一个“不变量”，这个量在我每次做完移动后都是不变的。那么显然个数不行，因为每次移动都会一个变成两个，于是就给每个格子赋一个权重吧，然后让每个格子的权重等于其上面的和右边的格子权重的和，这样的话我移动一个棋子，移动前后其所处格子的权重是不会变的，就像这样：

那么给所有的格子都赋予一个权重并且满足这样的条件是可能的么？回想一下移动棋子的规则，每次移动棋子都会在其上方和右方放置一个新的棋子，这正好是是成对角线对称的形式：

而我们的棋盘正好也是对角线对称的！也就是说我只要给两个NEW赋予相同的值，让它们等于OLD的一半就可以了！

现在我们就可以给棋盘赋值啦，起始点当然是左下角，就给个最简单的，1好了，然后是两个最近的格子给1/2，像这样：

这样我们就可以将棋盘的每一个格子赋予一个权重了。好了，证明最困难的部分就到此为止了，后面的部分不过就是基本的演算了，有了这些，想必有不少人已经知道该怎么做了，是的，就像这样：

我们现在有一个带权重的棋盘，以及在左下角里的3个犯人，为了将他们移动出去，绿色区域的权重必须至少要等于监狱里的权重才行，因为无论做多少步移动，初始的权重是不会变的，而如果我能将所有的棋子移出监狱，那么他们最后呆在的绿色区域权重相加就必须等于监狱内的权重。可是如何算呢？这个绿色的部分也不是规则形状的，那么干脆就算整个棋盘的权重后减掉监狱部分的好了。即使这样，一个二维的数列看上去也很难算，那么干脆我们就从最下面一排开始吧，那么最下面一排的值就是：

S=1+1/2+1/4+1/8+\dots

这就是一个典型的等比数列了，如果上过初中的话应该都可以解决，不过之前说了，我们只需要四则运算就能解决这个问题，那么作为一个小学生，我们要怎么解呢？我们可以两边都乘上一个2来看看：

2S=2+1+1/2+1/4+1/8+\dots

咦，自2之后的那部分不就是之前的S么？好，那么我们就能写成:

2S=2+S

这就太简单了 S=2。 哇，我们居然用一堆无限的数加出了一个有限的值，是不是很有趣呢？如果你觉得有趣，那么稍微跑一下题，试试这个问题如何:

A=9/10+9/100+9/1000+9/10000+\dots

这里的A又等于多少？提示，你可以试着在两边同时乘以10来看看。那么这个跑题的部分先放在一边，回到棋盘的部分，如法炮制我们可以把每一行都加起来，最后的结果就是这样：

想必到现在你已经是老油条了，这个新的数列加法也不用我说什么了吧，答案就是4。好了，现在我们知道，监狱部分的权重是2，监狱外的权重和也是2，所以…似乎是可以的？可是别忘了，监狱外有无穷个格子，也就是说在有限步骤里是填不满的，也就是说，在有限的一盘游戏里，你是没法将监狱里的棋子全部移动出来的，也就是说，我们证明了这个游戏是不可能的。怎么样，这个看上去很简单的游戏是不是很有趣呢？

最后剩下一点，让我们回到跑题的那部分，想必你已经算出来了，A=1，不过我们把那堆加法的数字换个方法来写：

9/10+9/100+9/1000+9/10000+\dots=0.9+0.09+0.009+0.0009+\dots=0.99999999999 \dots

所以

0.99999999\dots=1