What if beyond what-if —— Spiders vs. the Sun

不知道有多少读者朋友一样和我是知名网络漫画家 xkcdwhat-if 系列的狂热爱好者(限于英语水平以及文化差异,他的漫画我经常get不到笑点)。这个系列的特点是用一些更加脑洞的方式回答一些已经很脑洞的问题。即使我自诩是一个脑洞很深的人,这个系列也常常让我叹服。最新一期的 what-if 是有人问,身边的蜘蛛的万有引力大,还是太阳的万有引力大?

作者先后比较了一只亚马逊食鸟蜘蛛对身边人的引力,整个地球的所有蜘蛛平摊在地球表面上对地表上的一个人的引力,以及一个长满了蜘蛛的废水处理厂对厂旁边的一个人的引力。尽管作者使用了三种不同的表达方式,但其实这三个力与太阳对地球上一个人的引力的大小相比并不是递进关系,它们与太阳对人造成的引力之间的倍数分别差了7个,13个,和7个数量级。然而一个自然而然的脑洞他却没有填上,那就是,全地球的蜘蛛能对一个人造成多大的引力?这个引力和太阳对人造成的引力相比呢?

于是我的脑洞迅速歪到了给定体积(当然还有密度)的物体,什么形状能产生最大的引力这个问题上。

这个形状首先肯定是一个相对合力方向旋转对称的形状。稍微思考一下就能够明白这个形状的外表面上任意一个质量元对于这个质点的引力在合力方向上的分量是个恒量。也就是说,\(\cos(\theta)/r^2\)是一个恒量。如图,这样的面事实上是一个6次曲面\((x^2+y^2+z^2)^2=c^4z^2\)。它比球体稍微要矮一些。


Screenshot from 2015-04-17 22:49:40

 

这个曲面内部的体积可以用球积分计算

\[\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta \sin\theta\int_0^{c\sqrt{\cos\theta}}r^2 dr=\frac{4\pi c^{3}}{15}\]

其中\(c\)满足\(r^2=c^2\cos\theta\),也就是这个长轴的长度。我们假设蜘蛛为了和太阳比较引力的伟大事业,都自觉自愿的被打成了蜘蛛酱,哦不,蜘蛛浆。那么,它们的密度可以用水来代替。xkcd相当不负责任的推算了一个\(2\times10^8\)kg的世界蜘蛛总量。那我们就要

代入上式等于\(2\times10^5\text{m}^3\),得到\(C_0\)等于62.04m。和人的平均身高大概差了30多倍,勉强算的上远远大于吧w

而每一个等\(c\)面上,每个体积元的引力加速度(就省的再乘个人的重量了)贡献都是\(\frac{dV\rho\mathrm{G}}{c^2}\)。由于\(r=c\sqrt{\cos\theta}\),故\(dr =\sqrt{\cos\theta}dc\) 。故整个形状对人的引力大小可以表示为

\[g_{\text{spider}}=\int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}}d\theta \sin\theta\int_0^{C_0}\cos\theta c^2\sqrt{\cos\theta}\frac{\rho G}{c^2}dc=\frac{4\pi\rho GC_0}{5}\]

\[=1.04\times 10^5\text{m/s}^2\]

远远小于太阳施加的引力加速度,也就是

\[6.67384\times 10^{-11}\times 1.989\times 10^{30}/(1.49\times10^{11})^2=0.0059\text{m/s}^2\]

其实上面这段计算根本就跟放屁一样没有任何意义,简单计算就知道这种形状也就比同样质量的球体多了1/3引力,而那个不靠谱的蜘蛛总量估计误差怎么想也比这大得多。

不过除了有趣的计算过程之外,我们还知道到底差多少了。由于那个加速度和\(C_0\)一次方成正比,所以大约\(C_0\)再大个600倍差不多就赶上太阳了。看起来也不多嘛。

根据这个页面的数据,地球上所有的生物干重大概在550000000000吨左右,湿重大概要乘以3,比起我们的要求还是差了30倍左右。

地球生物太弱了啊!

有这闲工夫去写论文啊!

 

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