诚哥教你欣赏古典乐

池袋西口公园是一部相当优秀的作品,虽然有点成年人的童话的嫌疑,不过整体凛冽干净又透出温暖的文风让人爱不释手,一如石田衣良的其余作品。主角真岛诚一开始只是个小混混而已,但是在女孩小光的影响下开始欣赏古典音乐,逐渐成长为一名爱听古典乐的小混混。基本上是每一个故事都会出现至少一首古典乐,现在把名称整理如下,并附上小说中的描写。

池袋西口公园1

第一章 池袋西口公园

柴可夫斯基:弦乐小夜曲
Tchaikovsky:Serenade for string orchestra
书中描写:“柴可夫斯基是爸爸最喜欢的曲子。他经常和人家两个人一起锁在书房里听柴可夫斯基的曲子呢。《弦乐小夜曲——舒缓版》,这是爸爸经常在我们在一起时放的曲子呢,爸爸好爱、好爱光子的!虽然有时也会痛得不行,也觉得不喜欢,但是爸爸说相亲相爱的人都会这样做的。”

第二章 幽灵旅行车

拉威尔:死公主的孔雀舞
Maurice Ravel:Pavane pour une infante défunte (Pavane for a Dead Princess)
书中描写:“CD放进手提音响里,音响里传出《死公主的孔雀舞》,有点不太吉祥的曲名。但我还是闭上眼睛听了起来…较之交响乐版,我更喜欢原始的钢琴版本。”

第三章 绿洲的亲密爱人

林姆斯基高沙可夫:雪赫拉莎德
Rimsky-Korsakov:Scheherazade
书中描写“看了CD内页的解说,才知道原来《天方夜谭》是讲述山里亚努和雪赫拉莎德之间的故事。一个是认为世间女子都不贞,所以在初夜后就把她们通通处死的国王,另一个是利用每晚说故事卖关子来保命的宰相女儿。真是一个悲惨的故事。
故事最后,国王因为雪赫拉莎德的聪颖而对所有女性的看法发生了变化,这和千秋不也一样的吗?她不就因为卡西夫毫无觊觎之 心的诚实态度,而改变了对全体男性的观感吗?
国王和妓女,在人性方面,又有什么本质的不同呢?”

对了这章中作者还提到了一首歌,U2的《STAY》:“虽然也有人批评U2落伍,但我很喜欢他们那时的新专辑,于是先把Stay这首歌录到回转式录音带,再接到电波发射机,然后就出门了。我在自行车上载了一台小小的FM收音机。就在那个暖洋洋的春夜。一边听着杂音,一边听着我最喜欢的曲子从我的广播电台里传来,那种感觉真是爽毙了。转进某一条街时,盛开的白色樱花和U2像晚霞一样舒畅的歌声蓦地重叠。那首歌的歌词里说‘如此遥远,却又如此接近’。我在笔直的街道上欢快地骑车奔驰,一直到收不到信号的地方。我觉得自己就像是一条在夏夜海里游泳的海豚,那种跟家距离很远,却仍紧紧相系的感觉,真的令我迷醉。或许也是因为我没什么朋友吧,所以从此以后我就迷上了电波。三个月后,我就被别人取了个‘无线电’的绰号。”

第四章 太阳通内战

巴赫:英国组曲
J.S.Bach:English Suites
书中描写:无

巴尔托克:弦乐四重奏
Béla Bartók:Complete String Quartets
书中描写:无

巴赫:马太受难曲
J.S.Bach:Matthaus Passion
书中描写:无

池袋西口公园2:计数器少年

第一章 妖精之庭

武满彻:精灵之庭
武満徹(Toru Takemitsu):精霊の庭(Spirit Garden)
书中描写:“…瞬间仿佛置身庭院,在悠闲漫步中欣赏着各种景色。不断转换形态的旋律,犹如丝绸缭绕般绚丽地流逝而去,着实令人捉摸不透。看了看CD盒上写的介绍,方才得知这是在西口公园的东京艺术剧场现场录制的,距今已有五年的时间,那时候我还在上初中。淡泊凄楚的音乐,由8?位专业演奏家演奏,展露了他们用毕生心力学到的乐器精髓。”

第二章 计数器少年

Steve Keich:献给十八位音乐家的音乐(Music for 18 Musicians)
书中描写:“Reich是本世纪的美国作曲家。目前依然健在。说起现代音乐感觉上好像深奥了些,其实一点也不,现在有很多广告都用现代音乐来做背景。在听旋律单纯的钢琴曲或木琴曲时,我们会感觉到音与和音之间相互干涉,高与低的地方互相叠交,如波纹般一圈盖过一圈,两圈相互影响。这种音乐的精髓表现在节拍的间隔,而非旋律本身。”

第三章 银十字

海顿:十架七言
Haydn:The Seven Last Words of Christ on the Cross
书中描写:“那是基督被吊上十字架时所说的七句话,后人把它谱成了音乐。有管弦乐版、神剧版、弦乐四重奏版三种,也许是我老了的原因,惟独喜爱四重奏版,听上去安安静静的很舒服。不管怎样先暂时放松一下,有声音总比没声音要好。再说思考的时候配上有节奏的韵律感,往往能够让自己的思维顺利潜入最深处,思考时音乐的韵律非常重要。”

第四章 水中之眼

巴赫:平均律钢琴曲
J.S.Bach:The Well-Tempered Clavier
书中描写:“你也有那种时候吗?当你不知道听什么音乐的时候,会潜意识地把手伸向GlennGould的CD吗?他用钢琴演奏 J·S·巴赫(今年是巴赫去世二百五十周年,不过我的下意识跟这个可是没有任何关系),那种让你又重回现实世界的音乐会给你的心灵注入新的内容。更奇怪的是,我的思考节奏总是和顾尔德音乐的快速节奏和诡异的间隔合上了拍子。”

池袋西口公园3:骨音

第一章 骨音

瓦格纳:帕西法尔
Wagner:Parsifal
书中描写:“《受难日》的音乐既宁静又深邃,但我听进去的音符只有一半。因为须来所说的那种天国开启的声音,以及在Live House里听到的穿透神经般的声响,一直残留在我的耳膜里。”

第二章 西一番街外带

英格柏汉普汀克:糖果屋
Engelbert Humperdinck:Hänsel und Gretel
书中描写:“于1893年在魏玛剧院首度公演,充满着清甜的气息和可爱的节奏,很适合儿童欣赏。穿插于其中的甜美节奏,就像糖果屋里塞满的糖果饼干。”

第三章 黄绿色的神明

韩德尔:水上音乐
Handel:Water Music Suite
书中描写:“作为一曲英国夏季野外庆典的开场曲,气势恢宏又蕴含清新的基调,沉静和闲适完美地结合在一起,将狂热的野外气氛和静谧的夏日时光不着痕迹般杂糅在一起,就像天然的赋予,打造出一段令人畅往的时光。”

第四章 西口仲夏狂乱

舒伯特:死神与少女
Schubert:Death and the Maiden
书中描写:“一股熟悉的旋律流入耳畔,原曲是舒伯特晚年所作的四重奏,有着一个飘逸魅惑的名字《死神与少女》。精致的节奏与快速的张力完美地融合在一起,强烈的速度中流动着流畅柔婉的韵律。在这抽象的氛围中,我跟前仿佛闪过一个狂奔的少女,用力踢开了阻挡在前方的明暗死神。”

梅湘:小鸟专辑
Olivier Messiaen:Bird catalogue
书中描写:“这首曲子的作曲家是法国的现代音乐巨匠奥立弗·梅湘。而这首曲子的弹奏者,是一位俄国钢琴家,据说他在录制这张CD时,根本没有看乐谱,在将近三个小时的时间里,就完美地演奏了这首曲子。”

池袋西口公园4:电子之星

第一章 东口拉面商战

约翰.凯奇:预置钢琴的奏鸣曲与间奏曲
John Cage:Works For Piano & Prepared Piano
书中描写:“预置钢琴的音色有时像玩具钢琴,有时又和风琴或古代的竖琴很像。虽然听来简朴清澈,但又让人感到几分压抑。”

第二章 献给宝贝的华尔兹

这两首是爵士乐
奥斯卡·彼得森乡村三重唱:夜行列车
The Oscar Peterson Trio:NIGHT TRAIN
书中描写:“或许是大叔安的那台真空管扩大机起的作用,这乐声虽然很强,但音色却柔软得跟丝绸一样。我不禁好奇,难道奥斯卡·彼得森那意大利香肠般的手指,也能在白色琴键上弹出如此浑厚的音色吗?”

比尔·伊文斯:献给黛比的华尔兹
Bill Evans Trio:Waltz For Debby
书中描写:那宛如秋日落叶般紧紧相连的短促钢琴声倾泻而出,多么宁静的曲子。

第三章 恐怖的头罩

贝多芬:第五小提琴奏鸣曲“春天”
Beethoven:Violin Sonata No.5 “Spring”
书中描写:“这些曲子都是贝多芬在三十几岁以前写的,所以充满了年轻气盛的霸气。对我来说,这简直是最大的享受,所以我经常在肮脏的池袋街头静静地坐着,而心神早已跑到了充满活力的艺术世界里。”

第四章 电子之星

巴托克:蓝胡子公爵的城堡
Bartók:Duke Bluebeard’s Castle
书中描写:“这是一段最贴切于我现在心情的背景音乐,这曲音乐的第一页的一段歌词中描写的是这样一个场景:在满是铁链与剑、打上钉子的木桩,以及烤得烫红的铁棒房间里,朱蒂丝·佛利耶西唱道:‘你的城堡,踏满了血的足迹!你的城堡鲜血四溅!’”

池袋西口公园5:反自杀俱乐部

第一章 皮条客布鲁斯

莫扎特:唐璜
Mozart:Don Giovanni
书中描写:“这部歌剧里展现了一个真实的人生,讲的是风流倜傥的唐璜在石像骑士的教唆下堕入地狱的故事。不论听多少次,我都只能听到整天沉浸在女人堆里,只忠于自己意念的唐璜对人生的认真,其他所有的人都愚蠢至极,就像我和布鲁斯。”

第二章 季末流星

霍尔斯特:行星组曲
Holst:The Planets
书中描写:“很多人应该比较熟悉它当中的第四乐章《木星》,也就是周日晚间电影节目的片尾曲。其实其他的乐章也非常不错,只是常常会被人们忽视,如副标题为“翅膀天使”的《水星》,以及配上神秘女声和声的《海王星》。当时我心里最想听的是《土星》,它有一个很有趣的副标题口叫‘寿星。’”

第三章 玩具杀手

第四章 反自杀俱乐部

贝尔格:伍采克
Alban Maria Johannes Berg:Wozzeck
书中描写:“这个故事改编自真人真事,情节凄惨得惹人感伤,讲的是贫穷的士兵伍采克在军队中被战友欺负得最后精神失常,常常产生幻觉,幻想妻子玛丽出轨,和军乐队的男人有染。最后玛丽被他刺死,他自己则溺死在满是淤泥的池塘里。最后一幕更是讽刺幽默,他们的孩子在玩着木马,旁边顽皮的孩子嘴里喊着:“我们要去看你妈妈的尸体.”简直是疯狂得不可理喻,强烈的反差直刺内心。”
池袋西口公园6灰色的彼得潘

第一章 灰色的彼得潘

莫扎特:魔笛
Mozart:Magic Flute
书中描述:“一会儿是夜之女王,一会儿是捕鸟人,一会儿又是什么祭司的,登场人物我完全搞不懂。由于故事受到共济会思想的影响,有很多地方不知道在演什么,不过仍然感受得到充满童话般的快乐气息以及优美的旋律,正适合闲适的十二月午后聆听。”

第二章 与野兽重逢

贝多芬:第四交响曲
Beethoven:Symphonie No.4
书中描述:“在贝多芬共九大交响曲中,第四交响曲虽然不是最伟大的一首,却是最惹人怜爱的,同时也是我最喜欢的一首曲子。一听到第一乐章的慢板,我总是想起春天波浪平缓的海面。”

第三章 站前无照托儿所

保罗·杜卡斯:魔法师的弟子
Paul Dukas:Sorcerer’s Apprentice
书中描述:“是根据歌德知名的叙事诗重新创作的音乐交响诗。听起来似乎格调很高,不过这首曲子之所以有名,也是因为迪斯尼动画用了它当配乐。故事讲的是魔法师的弟子趁师父出门时施展了不够纯熟的魔法,而把整个屋子弄得都是水的幽默情节。曲子听起来也很可爱。”

第四章 池袋凤凰计划

斯特拉文斯基:火鸟
Igor Stravinsky:The Firebird
书中描述:“…是这位二十世纪俄国天才的成名作,是他二十七岁初次写下的芭蕾音乐。虽然听起来很像阴沉的童话,但曲子里随处可听到精密而野蛮的节奏。”

斯特拉文斯基: 普尔奇涅拉
Igor Stravinsky:Pulcinella
书中描述:“优雅的旋律缓缓地从竖笛转换为长笛。如果人生也能像这样流畅地变奏的话,该有多好呢。”

池袋西口公园7:G少年的冬战争
第一章 要町电话男

贝多芬:第五小提琴奏鸣曲“春天”(前面已出现过,再次出现)
Beethoven:Violin Sonata No.5 “Spring”
书中描述:“听起来开朗而快活,在一共十首的小提琴奏鸣曲之中,它最具有女性特质。写出这支曲子时,音乐巨人贝多芬不过三十多岁而已,还没有神经衰弱或忧郁的毛病,利落而奔放地将旋律发挥得淋漓尽致。任何人是不是只要上了年纪,做像这样的事就会变得很困难呢?”

第二章 欺诈师维纳斯

穆索斯基(钢琴版)&拉威尔(管弦乐团版):展览会之画
Modest Mussorgsky&Maurice Ravel:Pictures at an Exhibition
书中描述:“有穆索斯基(Modest Mussorgsky)的钢琴版和拉威尔(Maurice Ravel)的管弦乐团版,两者截然不同,有时间的人可以听听看。穆索斯基的是黑白素描,极有魄力;拉威尔的管弦乐团版则极细密地为它涂了色彩。将两者比较一下,会觉得很有趣。”

第三章 连续纵火犯

韩德尔:皇家焰火
Handel:Royal Fireworks
书中描述:“专辑封面是在夜空中绽放的烟火。二百五十年前左右,为了纪念奥地利王位争夺战的结束,伦敦举办了焰火大会。气势十足的《皇家焰火》,就是当时为此而写下的,一共用了九支小号、九支法国号与二十四支双簧管,再加上十二支巴松管,这样你应该了解组成的规模有多庞大了吧。我一面恍惚地看着西一番街,一面思考着当时音乐水平之高。十八世纪时,韩德尔与莫扎特写下了典礼的音乐;而现代纪念世界杯的廉价主题曲,却是由不知哪里少根筋的摇滚乐团创作的。我们活在一个文化水平不断降低的环境,几百年来,文化快速地贬值着。”

韩德尔:风琴协奏曲集&合奏协奏曲
Handel:Organ Concerto

第四章 G少年的冬战争

艾里布·沃夫冈·科恩格尔德:死亡之城
Erich Wolfgang Korngold:Die tot Stadt
书中描述:“很酷的歌剧”

池袋西口公园8 非正规反抗军

第一章 千川余生妈妈

巴赫:安娜·玛格达勒娜·巴赫的笔记簿
Bach:Notebook for Anna Magdalena Bach
书中描述:“这是巴赫为他小他十六岁的第二任妻子安娜所写的上课用的曲子。不愧是巴赫,即便是专供自己家庭用的实用音乐,他还是写了许多很棒的旋律在其中。或许这才是真正的「House Music」吧。”

第二章 池袋清洁队

莫扎特:第十五号嬉游曲
Mozart:Divertimento in B-flat, “Lodron”, K. 287
书中描述:“这是天才莫扎特为了某个有钱人的派对而飞快写出来的名作。好几张透明的翅膀张了开来,振翅往夜空飞去。连像池袋这麼脏乱的城市,旋律的翅膀似乎也能帮忙把它整个带到天空中去。”

第三章 退休牛头犬
贝多芬:第七号交响曲
Beethoven:Symphony No. 7
书中描述:“因为一讲到秋天,就要听这首黄金七号曲吧。日剧裡都不知道播了N,或许各位早已耳熟能详了,但它依然还是一首好曲子,没有改变。”

第四章 非正规反抗军

肖斯塔科维奇:第七号交响曲《列宁格勒》
Dmitri Shostakovich:Symphony No. 7 in C major Leningrad
书中描述:“因为我没有那种心情只听什么优雅而美丽的音乐。第七号交响曲「列宁格勒」是描写德国与苏联战争的一大作品。不过这首曲子再怎麼听,只是像独裁者监视下写出来的行进用音乐而已。如果不笑著假装勇敢,有人就会从后面把你推落到谷底去。就是这麼恐怖的音乐。”

以上,就是IWGP1-8卷出现的绝大多数古典乐。很多都在verycd上有,甚至就是诚哥听到的版本。

GEB读书笔记之二——形式系统的相容性

上次说到了形式系统大概是个什么样子,不过光用语言描述总是很抽象的,不好理解。那么就来举一个书上给出的例子来看看:

pq系统

  • 字符集:p   q    –
  • 公理:设 x 是包含且仅包含一个或多个字符’-‘的字符串,则 x-qxp- 是这个系统中的串。
  • 推理规则:设 x,y,z 的含义如上 x 所述,如果 xqypz 是这个系统中的一个串,则 x-qypz- 也是这个系统中的串。

这个系统就是这样了,字符集和公理应该很好理解,至于最后的推理规则,虽然不难,但是对有些人可能看上去有点陌生。这种形式的定义我们一般称之为递归定义,至于递归的含义,有一个关于它的经典笑话:

     递归 [名词]:见递归

这个笑话很形象的描述了递归的一个特点:自己定义自己。这听上去有点坑爹,自己定义自己不是说永远没完么?是的,所以递归的定义和这个有区别,自己定义自己没错,但是重要的一点是:定义用的是简单一些的版本,并且,起点是给定的。那么在这里,起点就是已经是系统中的,形如 xqypz 的串。那么这种串又是哪来的呢?向上看,这种串是由公理给出的。如果要再举一个例子的话那就是数学里著名的斐波那契数列,我们将这个数列的第 i 个数表示为 Fib(i) 则我们有:

  1. Fib(0) = 0
  2. Fib(1) = 1
  3. Fib(n) = Fib(n – 1) + Fib(n – 2)     (n > 1)

是不是很类似呢?好了,理解了这个我们就可以先来试试看看 pq 系统里都有哪些字符串。最简单的当然是当 x 只是一个 – 的时候,那么按照公理,字符串 – -q-p- 就可以算一个。之后由于有了这个串,我们就可以按照推理规则进行扩充,在这里,x 是 – -,y 是 – ,z 是 – ,所以扩充后就会变为 – – -q-p- – 。数一数,不要眼花了哦。按照这种想法,我们就可以生成不计其数的这个系统里的字符串。那么也许你很快就注意到了,所有的字符串,无论它们有多么长,长相都会是形如 “一堆横杠后面跟着一个q,q后面再来一堆横杠,之后连着一个p,p之后再有若干个横杠,结束”  凡是不是这个形式的串,肯定不会是这个系统中的串。于是我们把这种形式的串叫做良构的(Well-Formed)。这也是之前所说的特定的排列顺序,这是由规则决定的。

那么我们知道了只有这个形式的串才有可能是系统中的串,但是这并不意味着凡是这种形式的串都是这个系统中的串。那么有没有什么办法来判定任意这种形式的串是不是这个系统中的串呢?这个并不难,如果你愿意考虑一下的话可一先停在这里。如果你写了足够多的串,那么应该可以发觉这些串都有一个相似的性质,这个性质就是在字母 q 前的横杠个数等于在q,p之间的横杠个数与 p 之后的横杠个数的和。换句话来说,这个系统和加法有着异曲同工之妙。如果我们把q解释为等于,p解释为加法,- 解释为数字1,- – 解释为数字2,等等,我们就可以把这个系统中的每一个串翻译为一句形如“3等于2加1”之类的正整数加法等式,我们把这个叫做形式系统的解释,而正整数加法和这个形式系统的关系我们称之为同构就如同“苍井空.rmvb”和显示器上的图像的关系 就如同“爱情买卖.mp3”和从你音响里发出的噪音音乐一样。那么,解释是唯一的吗?答案是否定的,如果稍加考虑我们就可以给出另一个解释:对于横杠的解释不变,但是将 q 解释为减法,p 解释为等于。虽然我们改变了解释,但是这个系统仍旧可以解释的通。

刚才说到了“可以解释的通”,这实际上就涉及到了形式系统的一个重要性质:相容性。或者叫无矛盾性,一致性。显然的,有矛盾的东西对于我们而言价值不大,我们想要的系统理所应当应该是无矛盾的。书上将这一性质分成了两层,外部一致性内部一致性,外部一致性比较好理解,它指的是系统中的每一个定理(在pq系统中就是那些公理和由推理规则生成的串)经过解释后都成为一个真的陈述。即所有系统中的陈述都与外部世界相符,这里的外部世界自然就是我们的世界了。而内部一致性则是指系统中不存在两个或更多的定理,他们之间是彼此不相容的。一个最简单的例子就是如果一个系统中同时有“小明今天早上造的桌子A是方形的”和“小明今天早上造的桌子A是圆形的”,那么这个系统就是内部不一致的。因为虽然我们也许不知道小明今天早晨造的桌子A是什么样的(甚至小明到底会不会造桌子我们也不知道),但是我们可以肯定这个桌子不可能既是方的又是圆的。这其实就是我们判断一个系统是否是内部一致的过程:我们先想象一个世界,这个世界要尽量符合这个系统内的所有定理。像上面,我们想像一个存在小明的世界,并且这个小明能够造桌子,但是我们再怎么想也想不出一个桌子要怎样才能即是方形的也是圆形的,所以我们说这个系统不是内部一致的。换句话说,如果这两个命题是“小明今天上午睡觉了”和“小明今天下午跑步了”,我们就可以想象出一个世界,在这个世界里小明上午睡觉了并且小明下午跑步了,所以我们说这个系统是内部一致的。需要注意的是现实世界里小明到底做了什么无所谓,在内部一致里,只要在我们的一个想象的可能世界里所有的陈述之间没有冲突就可以了。

不过想象的可能的世界这种说法有点坑爹,我偏要想一个桌子即是圆的又是方的的世界你能把我咋地?(好吧,其实我承认我想不出来)作者给出的结论是说想象的世界要和真实世界的数学和逻辑相一致才行。不知道多少人愿意就这么算了,凭啥只是数学和逻辑,物理呢?生物呢?化学呢?语文呢?政治正确性都不顾了你想死么?所以这里就让我多解释一下。不过这里要牵扯到模态逻辑和可能世界理论,当然只是初步的。首先在一般的逻辑里,一个命题(能够判断真假的语句)的表述方式无非有两种:直接表示和添加否定的表示。但是在模态逻辑里,增加了“可能”和“必定”两种“形容词”,也就是说,一个命题,比如“Sony是业界的良心” 在一般的逻辑里顶多可以再表述为“并非Sony是业界的良心”。而在模态逻辑里,还可以表示为“有可能Sony是业界的良心”和“一定有Sony是业界的良心”。虽然这些命题的真假在你看来可能取决于考虑问题的人是任青,索匪,还是果粉(?)。但是在可能世界理论之下,我们如何定义这些命题的真假呢?下面以一定为例,解释真值是如何定义的。

     命题 A 在某一可能世界里是必然的,当且仅当 A 在那个世界的所有可能世界里都是真的

由此可见,首先在判定一个以一定开头的命题的真假时,我们会限定说它在某一基本的可能世界里。之后,我们说如果在那个可能世界的所有可能世界里这个命题都是真的,那么原命题为真。这里稍微有点绕,那么来举个例子好了:我们首先限定我们当前的世界是讨论问题的基本的可能世界,那么这样的话“任天堂是游戏业霸主”的世界,“索尼是游戏业霸主”的世界,和“苹果是游戏业霸主”的世界,就是我们当前世界的可能世界,但是“雅达利是游戏业霸主”的世界就不是我们当前世界的可能世界了,因为它已经死了。(现在的雅达利和以前的没什么关系,就像现在的AT&T和以前的AT&T不是一回事一样)

所以说,在这里,提到可能世界,我们总有一个基准,“所有可能世界”不是指绝对意义上的所有可能世界,而是与基准世界相关联的所有可能世界。如果某一个可能世界里的规则与基准世界里的规则相矛盾,那么这个可能世界就不是我们想要的可能世界,他对于我们没有意义。所以回到主题,在内部一致性里,我倾向于把我们现实世界当作基准,那么如果存在一个在这基准之上的可能世界,在那个世界里系统中的所有定理的解释之间都不存在矛盾,则我们说这个系统是内部一致的。所以此时一个“桌子同时是方的和圆的”的可能世界就不是一个可以被接受的可能世界了,因为在基准世界(我们的世界)里,这是不可能的。

好了,那么关于形式系统的相容性大概就是这么多了,下次应该就是关于形式系统的另外一个重要性质了。下一次应该可以和哥德尔扯上关系了……吧—_卅……

GEB读书笔记之一——形式系统初步

之前开始学数理逻辑的时候听说了《哥德尔,艾舍尔,巴赫》这本书,不过实在是太忙,这书又很厚,结果最后并没有去看。前两天看到Twitter上有人提到这本书再版了,正好现在放假无事,于是便到书店把这本书买了回来。要说这本书里讲到的哥德尔不完备性定理,可以说是上个世纪人类最为伟大的发现了,不过似乎听说过的人并不多,这的确很可惜。译者在前言里称这本书是一本奇书,我觉得不虚此言,总之看的我是非常的兴奋。所以作为看书后的回顾,这里就记录一些阅读后的感想,供自己作为回顾以及没时间看书又想稍作了解的人。

在谈论哥德尔伟大的定理之前我们需要了解一些基本的概念,首先就是形式系统。不过在解释什么是形式系统之前请让我们回想一下初中学过的几何。如果你用过人教2000年版的初中数学书的话你一定还记得那本和代数一样厚(或者反过来说也一样)的几何,里面充斥着诸如“公理”“定理”一类的表述。如果你和我一样对这些表述并不以为然并且认为它们基本上是一回事的话,那么恭喜你,你和我一样犯下了一个严重的错误。不过这个错误并不会影响到你的中考或者高考成绩,所以大概从考试的角度来说这并不严重。但是如果我们要讨论形式系统的话我们还是先搞清楚这两个词是怎么回事。

首先是公理:

公理是无法被证明或决定对错,但被设为不证自明的一个命题。

也就是说,公理是一切证明的起点,它被视为是理所应当的。所以,公理应该是一些简单的,而且符合直觉的陈述。那么回过头来看看我们当时几何,也就是欧几里德几何中的那些公理:

  1. 任意两个点可以通过一条直线连接。
  2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
  3. 给定任意线段,可以以其一个端点作为圆心,该线段作为半径作一个圆。
  4. 所有直角都全等。
  5. 若两条直线都与第三条直线相交,并且在同一边的内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一边必定相交。

是不是很浅显易懂并且你会认为是理所应当的?当然了,你可能看着第5条公理不是那么的浅显易懂,是的,欧几里德也这么想,很多人都这么想,以至于由这条公理生出了其他的几何学说!这个我们之后再说。最后一个公理的一个等价表述其实是“通过一个不在直线上的点,有且仅有一条不与该直线相交的直线。”这个是不是稍微浅显一些?

那么定理呢?

定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

也就是说定理与公理都是真的,但是两者最大区别是定理需要证明。那么所谓的经过受逻辑限制的证明又是什么东西?与其找个解释,我想我们不如直接来看看欧几里德是怎么证明其几何中的定理的:

定理1:通过一个已知有限长的直线可以作一个等边三角形

Photobucket

设AB是已知有限直线

  1. 以A为圆心,以AB为距离画圆$$B\Gamma\Delta$$ 。 (公理3)
  2. 以B为圆心,以BA为距离画圆$$A\Gamma E$$ 。 (公理3)
  3. 由两圆的交点$$\Gamma$$向A,B连线。$$\Gamma A$$,$$\Gamma B$$ (公理1)
  4. 因为点A是圆$$B\Gamma\Delta$$的圆心,所以$$AB=A\Gamma$$。
  5. 因为点B是圆$$A\Gamma E$$的圆心,所以$$BA=B\Gamma$$。
  6. 因为已经证明了$$A\Gamma=AB$$,所以$$B\Gamma$$,$$A\Gamma$$都等于$$AB$$。
  7. 所以三条线段$$B\Gamma$$,$$A\Gamma$$,$$AB$$彼此相等。
  8. 所以三角形$$AB\Gamma$$是等边的,即在个已知有限长的直线AB上作出了一个等边三角形。

好了,证明结束,我想如此简单的证明不会有人看不懂吧,那么现在我们回过头来看看这个证明是怎么做到的。前3步是之前提到的公理,是最基本的东西,我们可以直接这么做而不必多加考虑,因为理智告诉我们这样一定没错。而4-6步呢?他们都是“因为…所以…”的句式,这个句式告诉我们,由于“因为”给出的前提条件,可以得到“所以”当中的结论。并且,如果“因为”所说的是正确的,那么,“所以”当中的结论也一定正确。在这里,这个正确性是显然的(好吧,我知道有些数学证明的一个偷懒技巧就是在不会证的时候写“显然可得”但是我相信这里的结果对于任何一个心智正常的人而言都是显然的)。这其实就是一种逻辑:当你接受前提“因为”时,你就要接受结果“所以”。而到了第7步,则是由第6步的结论而自然得到的结果。最后,在第8步,由于有了上一步的结论,我们得到了我们想要有的那个三角形。

这就是一个典型的证明过程,由逻辑将一些正确的事物连接到一块,并且,得到另一个正确的结论,再而且,这个过程被我们的理智所认可。到这里就比较好玩了,我们有了公理,有了逻辑规则,而且这些东西看上去又相当有规律,那么是不是我们可以弄出一套东西来,这套东西里有公理,有规则,然后只要通过公理和规则进行推理,那么就能得到有用的结论呢?特别的,这套东西最好能让机器来做,我们把公理和规则输入进去,机器来给我们给出源源不断的正确结论,要是这个系统要是能够包含一切的现实规律,那就更好了。这样我们就可以放手让机器去给我们创造一切,我们自己就可以活在没有饥饿没有寒冷的新闻联播的世界里了。我X,想想就给力啊!

是够给力,而这个的实现便是数学中的形式系统。欧几里德几何本身已经有那么些形式系统的意思了,比如说作为基础的公理,比如说严密的逻辑推理。不过并不够,欧氏几何的推理是由自然语言做的,虽然已经足够简单,但是还是不够简单,并且,自然语言的复杂性,二义性也不是可以轻松就发觉的。另外,还记得那个看上去不怎么顺眼的第五公理么?历史上有不少人想要证明这个公理可以不用,大量的尝试竟然衍生出了其他的系统,比如说椭圆几何,仅仅将第五公理所说的“过直线外一点有且仅有一条直线与之平行”否定为没有直线与之平行,再加上其他的4公理,就能推出一套自己的系统。这样初看会觉得造成了系统的矛盾,但是让我们想一想,我们会觉得矛盾的原因是什么?关键就是在欧氏几何中提到的“点”,“线”这些东西,我们要怎么解释?这个问题可能有点奇怪,“点”就是点呗。但是如果我们跳出“点”这个词给我们固有印象,假装把它当作一个没有意义的符号(或者干脆换个不认识的字,免得我们潜意识里的联想,比如用“齾”),然后重新进行解释,我们就会发现,如果把“点”解释为球上直径的一对端点,把“线”解释为以球直径做为直径的球面上的圆,一切就迎刃而解了,此时公理1“任意两个‘点’可以通过一条‘直线’连接”是不是也能解释的通?两条‘线’不可能无交点是不是也能解释的通?也就是说普通的点的概念并不是这里“点”的唯一解释!那么是不是说我们可以抛弃这些具体的概念,而是使用一些抽象的,和具体现实无关的词汇,而在使用时根据需要给这些抽象词汇予以解释呢?是的,而这正是形式系统所要做的。

那么按照上面的想法,让我来叙述一下什么是形式系统。

首先我们需要一个抽象的符号集合,从某种意义上讲,符号和现实生活的联系越少越好,免得使我们产生不必要的联想。但是实际上,形式系统在怎么样也是要实用的,所以其中符号还是难免要和现实紧密联系起来,免得在我们的理解上造成太大的麻烦(你能想象一个充斥着“棏彎嗄齾”之类完全看不懂的字的一个系统么?)

其次,一套文法。我们要知道如何将这些符号按照一定的规则组织到一起。胡乱堆放到一起的字符是没有意义的,他们的顺序需要有规则来确定。

然后是上面已经提到多次的公理–推理的基础。还有推理规则,这些规则一般是非常简明的,足以让机器也能实现的“死”规则

最后,有了上面的东西,我们可以得到一些定理,这些定理的集合就是这个形式系统的理论。

需要再次强调的是,形式系统里的字符是高度抽象的,所以,任何想当然的结论都是危险的,例如,如果形式系统公理中有a+b,这并不意味着b+a也是公理,而是需要证明的,因为+并不是加法,而仅仅是一个符号。对于符号的解释是之后按照我们的需求,或者对这个系统本身含义的观察得出的。并且,解释也不是唯一的。

这样我们就对形式系统有了一个初步的了解,之后我会举例说明一个书上的讲到的简单的形式系统,以及容易产生的误解。当然还有形式系统的两个重要性质。听说文章太长了没人看,所以这些就推后吧。

ON LIBERTY食完感

花了比预想久很多的时间,今天算是把ON LIBERTY看完了,感想非常多,于是在这个完全没人看的地方写写(感觉太悲惨了,完全没人看……)。
首先是通篇感受。可能和一般人想的不同,看完后综合我以前的感觉,我得出的结论是,自由绝对是一个累人的活,受专制统治与之相比轻松得多。自由最大的代价叫做独立思考。你时刻得保持警惕,警惕被别人的思考带着走,失去思考的全面,中立,理智,客观。还有比如言论自由就使你就得时刻去分析流行的每一句话的合理性,真伪,而这在很多时候不是那么简单的。然而,就好比任何有自尊的人脱离了父母的管制独立生活之后尽管要承担自己的生活但绝对不会想要回到父母的免费与管制之下一样,任何已经了解了自由好处的人是不会为这负担而放弃自由的。而从另外一个角度讲——尽管我们说自由是天赋人权,但连以上都做不到或者懒得做的人,即使获得了自由也无法守护住自由。当然了,这并不是说我认为这种人不配享有自由。自由的魅力在于,它是可以教化人的。在自由的世界里成长的人是不可能向往专制的,而他们也会自觉的用这些去要求自己。
整部自由论的中心思想只有一句:人可以做不会伤害到别人的一切事。当然作者为了具体解释这句话花了整整一本书,而且很多细节依然模糊不清,比如悖德行为的传播到底应不应该禁止。另外作者对于自由经济的无条件支持也在诸次经济危机之后显得不合时宜了——当然不是垄断和计划才是发展经济的正当方式,然而资本本身的逐利性决定诸如囤积居奇这样的行为永远不会消失——当然我的经济学水平还不足以回答这个问题,不过个人认为尽管自由竞争是大方向,不过必要的监管也是肯定的——自由本身就不是为所欲为。
具体的讲述讨论每一章给我带来的每一个思考是不现实的——整本书没有废话,全是精辟的论述,处处闪烁着智慧的光彩。这里就仅仅写一点我对一个具体事物的观点吧——就是在阅读的时候思考到的。我国的计划生育政策受很多人抨击,其中不乏韩寒这样的有识之士(嘛嘛,咱是韩蜜来的~)。然而个人认为,即使是按着论自由的观点,计划生育也是正确的。争论的焦点在于,个人的生育自由会不会伤害他人的利益——这就是群己权界。我认为,是的。书中作者花了很多口舌讨论懒惰这一行为是否应该受到惩罚。他的结论是,除非懒惰使得他周围的人生活失去保障(比如夫妻之间,还有子女)否则就不该受到惩罚。尽管这种行为对社会也是有害的。懒惰与生育泛滥相比,都是个人的行为对社会造成很小影响,但如果人人都这么做会对社会造成很大的影响。然而它们的区别在于,懒惰这个行为对自己的损害很大,而生育对个人来说没什么损害,甚至是有益的(从行为学的角度来说,生育对于生物来说具有绝对的意义)。从博弈论上讲,这种对己损害甚小而对群体损害的总和很大而收益远大于对自己损害的行为当然是要加以限制的。不过,还是那句话——人口素质的提高和生育成本的加剧会控制住生育率,人的社会性提高自然会降低动物性(虽然有限度,比如即使是位居高位,也依然只会想着自己后代利益的各种国家领导- -)。某种意义上来说这个问题就又回到上面自由市场的监管问题了——市场和生育成本确实具有调节能力,不过这个调节能力是迟缓的。政府作出底限的调节是必要的,具体到中国,真正到了人口爆炸的时候就太晚了,尤其是在当代始皇那种把人不当人打算打核战争一死死几亿的马尔萨斯式人口调节思想的指导下,当年中国是加足马力狂生,而且最杯具的是生育率和人口素质还成反比……
嘛正如我以前所说的一样,这本书本身适用的环境是已经拥有一定自由的社会。像兲朝这样自由的荒漠,阅读和思考这些问题或许本身就是如同堂吉诃德一样可笑吧。